0-1背包问题

//01背包问题
//问题场景描述:
/*
 有N件物品和一个容量为V的背包。放入第i件物品消耗的空间是Ci,得到的价值是Wi。求解将哪些物品装入背包可以使得价值总和最大?
*/

//解题思路:
/*
 这是最基本的背包问题,特点是:每种物品仅有一件,可以选择放或者不放。
 用子问题定义状态:即F[i,v]表示前i件物品放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程是:
                   F[i,v] = max{F[i-1,v] , F[i-1,v-Ci]+Wi  }
 方程解释:
 "将前i件物品放入容量为v的背包中"这个子问题,若只考虑第i件物品的策略(放或者不放),那么就可以转化为一个只和前i-1件物品相关的问题。
 如果不放第i件物品,那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”,价值为F[i-1,v];如果放第i件物品,那么问题就转化为“前i-1件物品
 放入剩下的容量v-Ci的背包中”,此时能获得的最大价值就是F[i-1,v-Ci]再加上通过放入第i件物品获得的价值Wi。
 伪代码如下:
                   F[0,0...V]=0;
                   for i=1 to N
                     for v=Ci to V
                        F[i,v]=max{ F[i-1,v}, F[i-1,v-Ci]+Wi}
*/
//代码
#include<string>
#include<iostream>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<map>
#include<queue>
#include<set>
#include<stack>
#include<unordered_map>
#include<numeric>

using namespace std;


int knapsack(int count, int capacity, vector<int>& weight_array, vector<int>& value_array)
{
vector<vector<int>> result(count + 1, vector<int>(capacity + 1, 0));
for (int i = 1; i <= count; ++i)
{
for (int j = 1; j <= capacity; ++j)
{
// 第i个物体没有可能放入背包中
if (weight_array[i] > j)
{ // 放弃第 i 件商品,拿第 i - 1 件商品
result[i][j] = result[i - 1][j];
}else{
result[i][j] = max(result[i - 1][j], result[i - 1][j - weight_array[i]] + value_array[i]);
}
}
}
return result[count][capacity];
}

int main()
{
int count, capacity;
cin >> count >> capacity;
vector<int> weight(count+1, 0);
vector<int> value(count+1, 0);

for (int i = 1; i <= count; ++i) // 循环输入每件商品的重量
{
cin >> weight[i]>>value[i];
}

cout << knapsack(count, capacity, weight, value) << endl;

return 0;
}
//空间优化
/*
以上方法的时间和空间复杂度均为O(VN),其中时间复杂度应该不能再优化了,但空间复杂度却可以优化到O(V).
先考虑上面讲的基本思路如何实现,肯定是有一个主循环i=1...N,每次算出来二维数组F[i,Ci...V]的所有值。那么,如果只用一个数组F[0...V],能不
能保证第i次循环结束后F[v]中表示的就是我们定义的状态F[i,v]呢?F[i,v]是由F[i-1,v]和F[i-1,v-Ci]两个子问题递推而来,能否保证在推F[i,v]
时(也即在第i次主循环中推F[v]时)能够取用F[i-1,v]和F[i-1,v-Ci]的值呢?事实上,这要求在每次主循环中我们以v=V...Ci的递减书序计算F[v],
这样才能保证推F[v-Ci]保存的是F[i-1,v-Ci]的值。伪代码如下
                    F[0...V] = 0
                    for i= 1 to N
                      for v= V to Ci
                         F[v] = max{ F[v],F[v-Ci]+Wi}

*/

//初始化的细节问题
/*
  我们看到的求最优解的背包问题题目中,事实上有两种不太相同的问法。有的题目要求“恰好装满背包”时的最优解,有的题目则并没有要求必须把背包装满。
  一种区别这两种问法的实现方法就是在初始化的时候有所不同。
  如果是第一种问法,要求恰好装满背包,那么在初始化时除了F[0]为0,其它F[1...V ]均设为-∞,这样就可以保证最终得到的F[V ]是一种恰好装满背包的最优解。如果并没有要求必须把背包装满,而是只希望价格尽量大,初始化时应该将F[0...V ]全部设为0。这是为什么呢?可以这样理解:初始化的F数组事实上就是在没有任何物品可以放入背包时的合法状态。如果要求背包恰好装满,那么此时只有容量为0的背包可以在什么也不装且价值为0的情况下被“恰好装满”,其它容量的背包均没有合法的解,属于未定义的状态,应该被赋值为-∞了。如果背包并非必须被装满,那么任何容量的背包都有一个合法解“什么都不装”,这个解的价值为0,所以初始时状态的值也就全部为0了。这个小技巧完全可以推广到其它类型的背包问题,后面也就不再对进行状态转移之前的初始化进行讲解
*/

//测试函数
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
int main(){
    //n(物品数),v(背包总容量)
    int n, v;
    cin >> n >> v;
    //初始化结果集,初始化为0.即默认没必要恰好填满
    vector<int> dp(v + 1, 0);
    for (int i = 0; i < n; i++){
        //第i个物品的体积为ci ,价值为value
        int ci, value;
        cin >> ci >> value;
        for (int j = v; j >= ci; j--){
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - ci] + value);
        }
    }
    cout << dp[v] << endl;
    return 0;
}

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作者:浪漫硅谷 
原文:https://blog.csdn.net/langmanqishizaijia/article/details/51098525?utm_source=copy 
参考链接:
1. https://blog.csdn.net/hearthougan/article/details/53869671
2. https://blog.csdn.net/chengonghao/article/details/51915753
3. https://blog.csdn.net/m0_37830950/article/details/702406614
4. https://www.cnblogs.com/fengziwei/p/7750849.html

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